В 2000 году с отличием окончил юридический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
В 1999 году начал карьеру в футбольном клубе ЦСКА в должности юрисконсульта. В 2001 году стал руководителем юридического отдела.
В 2007 году по решению совета акционеров назначен на должность генерального директора ПФК «ЦСКА», которую занимает до сих пор.
В период нахождения Бабаева Р.Ю. на должности генерального директора ПФК «ЦСКА» клуб становился трижды чемпионом России (2013, 2014, 2016), четыре раза обладателем Кубка России (2008, 2009, 2011, 2013), пять раз выиграл Суперкубок России (2007, 2009, 2013, 2014, 2018).
Член комитета Российского футбольного союза по статусу игроков.
В 2015 году в Московском государственном юридическом университете им. О. Е. Кутафина защитил кандидатскую диссертацию на тему «Особенности правового регулирования труда иностранных граждан в сфере физической культуры и спорта в РФ».
С 2015 года является членом комитета УЕФА по лицензированию футбольных клубов.
Входит в состав правления Российской премьер-лиги.